在極坐標(biāo)系中，曲線由方程 \( r = f(\theta) \) 或 \( \theta = g(r) \) 描述。以下分類解析常見曲線及其方程： ### 一、基本曲線 1. 射線 - 方程：\(\theta = \alpha\)（\(\alpha\) 為常數(shù)） - 幾何意義：從極點(diǎn)出發(fā)，與極軸成固定角 \(\alpha\) 的射線。 - 示例：\(\theta = \frac{\pi}{3}\) 表示與極軸成 60° 的射線。 2. 圓 - 圓心在極點(diǎn)： - 方程：\(r = a\)（\(a > 0\)) - 幾何意義：以極點(diǎn)為圓心，半徑為 \(a\) 的圓。 - 圓心在極軸上： - 方程：\(r = 2a\cos\theta\) - 幾何意義：圓心在 \((a, 0)\)，半徑為 \(a\)（直角坐標(biāo)方程：\((x - a)^2 + y^2 = a^2\))。 - 圓心在垂直軸上： - 方程：\(r = 2a\sin\theta\) - 幾何意義：圓心在 \((0, a)\)，半徑為 \(a\)（直角坐標(biāo)方程：\(x^2 + (y - a)^2 = a^2\))。 ### 二、圓錐曲線（焦點(diǎn)在極點(diǎn)） 通式：\( r = \frac{ed}{1 + e\cos\theta} \)，其中 \(e\) 為離心率，\(d\) 為焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。 1. 橢圓（\(0 < e < 1\)）： - 示例：\(r = \frac{3}{2 + \cos\theta}\)（\(e = \frac{1}{2}\))。 2. 拋物線（\(e = 1\)）： - 示例：\(r = \frac{4}{1 + \cos\theta}\)。 3. 雙曲線（\(e > 1\)）： - 示例：\(r = \frac{3}{1 + 2\cos\theta}\)（\(e = 2\)，漸近線方向 \(\theta = \pm \frac{2\pi}{3}\))。 ### 三、特殊曲線 1. 玫瑰線（Rhodonea） - 方程：\(r = a\cos(n\theta)\) 或 \(r = a\sin(n\theta)\)（\(n > 0\) 為實(shí)數(shù)）。 - 花瓣數(shù)： - 若 \(n\) 為整數(shù)，花瓣數(shù)為 \(n\)（\(n\) 奇）或 \(2n\)（\(n\) 偶）。 - 示例： - \(r = 2\cos(3\theta)\)：3 個(gè)花瓣（圖 1）。 - \(r = 2\sin(2\theta)\)：4 個(gè)花瓣（圖 2）。 2. 心形線（Cardioid） - 方程：\(r = a(1 \pm \cos\theta)\) 或 \(r = a(1 \pm \sin\theta)\)。 - 幾何意義：形如心形，是圓的內(nèi)擺線。 - 示例：\(r = 2(1 + \cos\theta)\)（圖 3）： - \(\theta = 0\) 時(shí) \(r = 4\)； - \(\theta = \pi\) 時(shí) \(r = 0\)（過極點(diǎn)）。 3. 阿基米德螺線 - 方程：\(r = a + b\theta\)（\(a, b\) 常數(shù)）。 - 幾何意義：勻速外擴(kuò)的螺旋線。 - 示例：\(r = \theta\)（過極點(diǎn)，圖 4）。 4. 對數(shù)螺線 - 方程：\(r = ae^{b\theta}\)（\(a, b\) 常數(shù)）。 - 幾何意義：角度增加時(shí)，距離指數(shù)增長（自然現(xiàn)象常見）。 --- ### 分析方法 1. 對稱性： - 關(guān)于極軸：若 \(f(-\theta) = f(\theta)\)（如 \(r = \cos\theta\)）。 - 關(guān)于 \(\theta = \frac{\pi}{2}\)：若 \(f(\pi - \theta) = f(\theta)\)（如 \(r = \sin\theta\)）。 - 關(guān)于極點(diǎn)：若 \(f(\theta + \pi) = -f(\theta)\)（如 \(r = \theta\)）。 2. 關(guān)鍵點(diǎn)： - 計(jì)算 \(\theta = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}\) 時(shí)的 \(r\) 值。 - 求 \(r = 0\) 的點(diǎn)（曲線過極點(diǎn)）。 3. 直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換： - 利用 \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\), \(r^2 = x^2 + y^2\)。 - 示例：\(r = 3\sin\theta \rightarrow r^2 = 3y \rightarrow x^2 + y^2 - 3y = 0 \rightarrow x^2 + \left(y - \frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}\)（圓）。 --- ### 典型例題 問題 1：識別曲線 \(r = 4\cos\theta\)。 解： - 直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換：\(r^2 = 4r\cos\theta \rightarrow x^2 + y^2 = 4x \rightarrow (x - 2)^2 + y^2 = 4\)。 - 結(jié)論：圓心在 \((2, 0)\)，半徑 2 的圓（圖 5）。 問題 2：分析 \(r = 2(1 + \cos\theta)\) 的對稱性與范圍。 解： - 對稱性：\(r(-\theta) = 2(1 + \cos(-\theta)) = r(\theta)\) → 關(guān)于極軸對稱。 - 關(guān)鍵點(diǎn)： | \(\theta\) | 0 | \(\frac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\frac{3\pi}{2}\) | |------------|------|------------------|------------|--------------------| | \(r\) | 4 | 2 | 0 | 2 | - 范圍：\(r \in [0, 4]\)，周期 \(2\pi\)，為心形線（圖 3）。 --- ### 圖形示例 | 圖 1：\(r = 2\cos(3\theta)\) | 圖 2：\(r = 2\sin(2\theta)\) | |--------------------------------|--------------------------------| |  |  | | （3 瓣玫瑰線） | （4 瓣玫瑰線） | | 圖 3：\(r = 2(1 + \cos\theta)\) | 圖 4：\(r = \theta\) | |-----------------------------------|--------------------------| |  |  | | （心形線） | （阿基米德螺線） | | 圖 5：\(r = 4\cos\theta\) | |------------------------------| |  | | （圓） | > 注：圖形鏈接需在支持 Desmos 的環(huán)境查看，或參考附圖。 通過掌握基本曲線方程和轉(zhuǎn)換技巧，可準(zhǔn)確識別極坐標(biāo)方程的幾何意義。